Aufgabe 2.24 i) 2008-09-28 21:22:10 Gleichungssystem: 1a - 1b + 2c - 3d = 7 4a + 0b + 3c + 1d = 9 2a - 5b + 1c + 0d = -2 3a - 1b - 1c + 2d = -2 Umformen und sortieren (Variablen alphabetisch links, Konstanten rechts): a - b + 2c - 3d = 7 4a + 3c + d = 9 2a - 5b + c = -2 3a - b - c + 2d = -2 Stelle die Koeffizientenmatrix auf. Reihenfolge der Variablen: a, b, c, d, Konstante 1 - 1 2 - 3 7 4 0 3 1 9 2 - 5 1 0 - 2 3 - 1 - 1 2 - 2 Das Diagonalenfeld der 1. Zeile ist bereits 1. Mit der 1. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 1. Spalte auf 0 gebracht. Zur 2. Zeile wird das -4fache der 1. Zeile addiert: 1 - 1 2 - 3 7 0 4 - 5 13 - 19 2 - 5 1 0 - 2 3 - 1 - 1 2 - 2 Zur 3. Zeile wird das -2fache der 1. Zeile addiert: 1 - 1 2 - 3 7 0 4 - 5 13 - 19 0 - 3 - 3 6 - 16 3 - 1 - 1 2 - 2 Zur 4. Zeile wird das -3fache der 1. Zeile addiert: 1 - 1 2 - 3 7 0 4 - 5 13 - 19 0 - 3 - 3 6 - 16 0 2 - 7 11 - 23 Durch Division der 2. Zeile durch 4 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht: 1 - 1 2 - 3 7 5 13 19 0 1 - — —— - —— 4 4 4 0 - 3 - 3 6 - 16 0 2 - 7 11 - 23 Mit der 2. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 2. Spalte auf 0 gebracht. Zur 1. Zeile wird die 2. Zeile addiert: 3 1 9 1 0 — — — 4 4 4 5 13 19 0 1 - — —— - —— 4 4 4 0 - 3 - 3 6 - 16 0 2 - 7 11 - 23 Zur 3. Zeile wird das 3fache der 2. Zeile addiert: 3 1 9 1 0 — — — 4 4 4 5 13 19 0 1 - — —— - —— 4 4 4 27 63 121 0 0 - —— —— - ——— 4 4 4 0 2 - 7 11 - 23 Zur 4. Zeile wird das -2fache der 2. Zeile addiert: 3 1 9 1 0 — — — 4 4 4 5 13 19 0 1 - — —— - —— 4 4 4 27 63 121 0 0 - —— —— - ——— 4 4 4 9 9 27 0 0 - — — - —— 2 2 2 Durch Multiplikation der 3. Zeile mit -4/27 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht: 3 1 9 1 0 — — — 4 4 4 5 13 19 0 1 - — —— - —— 4 4 4 7 121 0 0 1 - — ——— 3 27 9 9 27 0 0 - — — - —— 2 2 2 Mit der 3. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 3. Spalte auf 0 gebracht. Zur 1. Zeile wird das -3/4fache der 3. Zeile addiert: 10 1 0 0 2 - —— 9 5 13 19 0 1 - — —— - —— 4 4 4 7 121 0 0 1 - — ——— 3 27 9 9 27 0 0 - — — - —— 2 2 2 Zur 2. Zeile wird das 5/4fache der 3. Zeile addiert: 10 1 0 0 2 - —— 9 1 23 0 1 0 — —— 3 27 7 121 0 0 1 - — ——— 3 27 9 9 27 0 0 - — — - —— 2 2 2 Zur 4. Zeile wird das 9/2fache der 3. Zeile addiert: 10 1 0 0 2 - —— 9 1 23 0 1 0 — —— 3 27 7 121 0 0 1 - — ——— 3 27 20 0 0 0 - 6 —— 3 Durch Division der 4. Zeile durch -6 wird das Diagonalelement zu 1 gemacht: 10 1 0 0 2 - —— 9 1 23 0 1 0 — —— 3 27 7 121 0 0 1 - — ——— 3 27 10 0 0 0 1 - —— 9 Mit der 4. Zeile werden alle anderen Zeilen in der 4. Spalte auf 0 gebracht. Zur 1. Zeile wird das -2fache der 4. Zeile addiert: 10 1 0 0 0 —— 9 1 23 0 1 0 — —— 3 27 7 121 0 0 1 - — ——— 3 27 10 0 0 0 1 - —— 9 Zur 2. Zeile wird das -1/3fache der 4. Zeile addiert: 10 1 0 0 0 —— 9 11 0 1 0 0 —— 9 7 121 0 0 1 - — ——— 3 27 10 0 0 0 1 - —— 9 Zur 3. Zeile wird das 7/3fache der 4. Zeile addiert: 10 1 0 0 0 —— 9 11 0 1 0 0 —— 9 17 0 0 1 0 —— 9 10 0 0 0 1 - —— 9 In der letzten Spalte stehen die Lösungen.